Link công trình: https://drive.google.com/drive/folders/1MNNSignfWTkGvjH9nV1W-FDm6ARR0GAa

Giới thiệu về công trình: 

Chương I: Mở đầu

1. Lí do chọn đề tài
Chương trình học của lớp 10 là giai đoạn đầu của quá trình học tập ở cấp 3 nói chung và môn Toán nói riêng. Các em học sinh chuyển từ cách học ở cấp trung học cơ sở lên chương trình học ở cấp trung học phổ thông nên còn chưa quen với môi trường học, cách thức học. Lượng kiến thức tương đối nhiều hơn so với chương trình học ở trung học cơ sở. Do đó học sinh còn gặp nhiều khó khăn trong quá trình học tập.

Chương trình đại số của lớp 10 gồm có 6 chương. Trong đó ba chương đầu được thực hiện trong học kì 1, ba chương sau là kiến thức của học kì 2. Phương trình và hệ phương trình là chương ba, sau chương Mệnh đề, Tập hợp và chương Hàm số bậc nhất và bậc hai.

Phương trình là đối tượng rất quan trọng trong Toán học, xuất hiện xuyên suốt trong chương trình toán từ cấp cấp hai cho đến cấp ba. Do đó học sinh cũng đã làm quen với phương trình và giải phương trình từ những năm học trung học cơ sở. Tuy nhiên trong chương trình trung học phổ thông, phần phương trình có thêm những kiến thức mới lạ hơn và dễ khiến học sinh mắc sai lầm.

Do đó, tôi thực hiện “Một số sai lầm thường gặp của học sinh ở các bài toán giải phương trình và các phương pháp khắc phục” để phần nào giúp các học sinh hiểu hơn về phương trình, biết các sai lầm và cách khắc phục để đạt kết quả tốt nhất trong các kì kiểm tra, kì thi.

2. Mục đích
Nhằm giúp học sinh hiểu hơn về phương trình, các yếu tố của phương trình, tránh các sai lầm thường gặp trong các bài toán giải phương trình dẫn đến đạt kết quả tốt nhất trong các bài kiểm tra, thi học kì.

3. Phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu ở đây là chương số III “Phương trình, hệ phương trình” trong chương trình toán Đại số lớp 10, mà cụ thể hơn là một số phương trình thường gặp ở chương trình toán lớp 10 trung học phổ thông: phương trình bậc hai, phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình tích, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình chứa ẩn dưới dấu căn,…

4. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu ở đây là học sinh các lớp 10A2, 10A3 trường THPT Nguyễn Huệ.

5. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu, nghiên cứu chương trình đào tạo, chuẩn kiến thức kĩ năng của Bộ Giáo Dục về phần kiến thức liên quan đến phương trình.
Quan sát, tổng hợp các sai lầm thường gặp trong quá trình học tập của học sinh.
Tìm hiểu, nghiên cứu lí do sai lầm xảy ra. Tìm hiểu về suy nghĩ, cách hiểu bài của học sinh để tìm ra hướng đi chung, cách để hướng dẫn học sinh hiểu bài, làm bài tốt nhất có thể.

6. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu và tổng hợp: Nghiên cứu chuẩn kiến thức kĩ năng, chương trình toán. Tổng hợp các sai lầm của học sinh trong quá trình học tập, nghiên cứu lí do sai lầm và tìm ra biện pháp khắc phục.

CHƯƠNG II: Nội dung
1. Cơ sở lí luận
a/ Phương trình một ẩn:
Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f(x)=g(x), trong đó f(x) và g(x) là các biểu thức của x. Ta gọi f(x) là vế trái, g(x) là vế phải của phương trình.
Nếu có số thực x0 sao cho f(x0)=g(x0) là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là một nghiệm của phương trình.
Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm). Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng).

b/ Điều kiện của phương trình:
Là điều kiện của ẩn x để f(x) và g(x) có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được).

c/ Phương trình tương đương:
Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

d/ Phương trình hệ quả:
Nếu mọi nghiệm của phương trình f(x)=g(x) đều là nghiệm của phương trình f1(x)=g1(x) thì phương trình f1(x)=g1(x) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f(x)=g(x).
Ta viết

e/ Các phép biến đổi tương đương:
Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương: Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức. Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

2. Thực trạng vấn đề
a/ Thuận lợi:
Đối tượng học sinh lớp 10 trường THPT Nguyễn Huệ năm học 2020-2021 có lực học khá tốt, điểm đầu vào tuyển sinh cao hơn mọi năm và cao hơn các trường lân cận cùng khu vực (Nguyễn Huệ 14.7, Phước Vĩnh 14.10, Phước Hòa 13.95, Tây Sơn 14.7)
Phụ huynh học sinh đa số có điều kiện kinh tế ổn định, có sự quan tâm tới việc học tập con em. Do đó có sự phối hợp giữa giáo viên và phụ huynh trong việc hỗ trợ quá trình học tập của các học sinh.

b/ Khó khăn:
Mặc dù điểm đầu vào cao hơn mọi năm, nhưng mặt bằng chung mức điểm không quá cao, đa số là điểm dưới 20. Do đó học sinh có sức học không quá yếu nhưng cũng không giỏi nhiều.
Các học sinh còn quen với môi trường và cách học cũ ở trung học cơ sở, chưa có tính chủ động trong quá trình học tập. Trong tiết học còn ỷ lại, không tự làm bài mà chờ vào bài giải trên bảng để chép lại.
Một số học sinh có hoàn cảnh đặc biệt nên ít nhận được sự quan tâm, nhắc nhở của phụ huynh học sinh, bị bạn bè lôi kéo, ham chơi, lười học.

3. Các sai lầm thường gặp của học sinh
Trong quá trình luyện tập ở phần giải phương trình học sinh thường gặp một số sai lầm như sau:
a) Thiếu/ Sai điều kiện xác định của phương trình:
Các sai lầm thường gặp ở đây là học sinh thường quên mất điều kiện xác định; học sinh nhầm lẫn giữa các điều kiện với nhau (điều kiện của mẫu thức và căn thức),… Từ đó dẫn đến kết luận tập nghiệm của phương trình chưa đúng (thừa, hoặc thiếu nghiệm).

Phân tích sai lầm: Trong bài giải trên học sinh quên mất phần điều kiện của , dẫn đến sai lầm khi kết luận tập nghiệm vì – 3 không thỏa mãn phương trình ban đầu.

Phân tích sai lầm: Trong bài giải trên học sinh đã nhận thấy được có xuất hiện thì cần đến điều kiện xác định. Tuy nhiên, học sinh nhầm lẫn giữa điều kiện của căn thức và mẫu thức, dẫn đến sai lầm khi kết luận tập nghiệm vì – 3 không thỏa mãn phương trình ban đầu.

Cách khắc phục: Giáo viên nhắc lại cho học sinh dấu hiệu để xuất hiện điều kiện của phương trình (xuất hiện căn thức, phân thức) và phân biệt điều kiện giữa căn thức và mẫu thức.

Phân tích sai lầm: Trong bài giải trên, học sinh đã nhận thấy có xuất hiện phân thức, thì mẫu thức cần có điều kiện xác định. Tuy nhiên, học sinh nhầm lẫn giữa điều kiện của căn thức và mẫu thức, dẫn đến sai lầm khi kết luận tập nghiệm vì 0 vẫn thỏa mãn phương trình ban đầu.

Cách khắc phục: Giáo viên nhắc lại cho học sinh dấu hiệu để xuất hiện điều kiện của phương trình (xuất hiện căn thức, phân thức) và phân biệt điều kiện giữa căn thức và mẫu thức.

Phân tích sai lầm: Trong bài giải trên, học sinh quên mất điều kiện xác định của căn thức, dẫn đến sai lầm khi kết luận tập nghiệm vì 2 không thỏa mãn phương trình ban đầu.

Phân tích sai lầm: Trong bài giải trên, học sinh đã nhận thấy có xuất hiện căn thức, căn thức cần có điều kiện xác định. Tuy nhiên, học sinh nhầm lẫn giữa điều kiện của căn thức và mẫu thức, dẫn đến sai lầm khi kết luận tập nghiệm, 2 không thỏa mãn phương trình ban đầu; 5/2 thỏa mãn phương trình ban đầu. Từ đó, kết luận tập nghiệm vừa thiếu nghiệm, vừa thừa nghiệm.

Cách khắc phục: Giáo viên nhắc lại cho học sinh dấu hiệu để xuất hiện điều kiện của phương trình (xuất hiện căn thức, phân thức) và phân biệt điều kiện giữa căn thức và mẫu thức.

b) Thiếu điều kiện của phép biến đổi tương đương:
Các sai lầm thường gặp của học sinh ở đây là học sinh quên mất “điều kiện xác định”, “điều kiện của phép biến đổi tương đương”, nhầm lẫn giữa “điều kiện xác định của phương trình” và “điều kiện của phép đổi tương đương” trong các bài toán chứa căn thức. Từ đó dẫn đến trình bày bài giải chưa chính xác, kết luận tập nghiệm thiếu, thừa nghiệm,…

Trong bài giải trên học sinh quên mất điều kiện phép bình phương hai vế của phương trình, đó là hai vế phải không âm. Mà cụ thể ở đây là phần điều kiện của x − 2 , dẫn đến sai lầm khi kết luận tập nghiệm vì – 3 không thỏa mãn phương trình ban đầu.

Trong bài giải trên học sinh giải phương trình đúng, kết luận tập nghiệm đúng. Tuy nhiên về bản chất học sinh đã mắc sai lầm khi hiểu điều kiện của x − 2 là điều kiện xác định của phương trình. Điều kiện của x − 2 chỉ là điều kiện của phép biến đổi tương đương của phương trình, mà ở đây cụ thể là phép bình phương hai vế, và cần điều kiện là hai vế không âm. Do đó, khi làm bài như thế này, học sinh thường không được điểm.
Cách khắc phục: Giáo viên nhắc lại cho học sinh phân biệt giữa điều kiện của phương trình và điều kiện của phép biến đổi tương đương.

Phân tích sai lầm: Trong bài giải trên học sinh đã mắc sai lầm khi rút gọn hai vế của phương trình cho x − 2 . Đây cũng là sai lầm rất thường gặp trong các bài toán giải phương trình. Học sinh quên mất điều kiện khi muốn rút gọn hai vế cho một biểu thức, đó là biểu thức đó phải khác không, không làm thay đổi điều kiện của phương trình. Do đó học sinh đã kết luận nghiệm sai, vì x = 2 là một nghiệm thỏa mãn phương trình đã cho.
Cách khắc phục: Giáo viên khi dạy phần các phép biến đổi tương đương cần nhấn mạnh cho học sinh rằng khi nhân hay chia hai vế cho cùng một số hoặc một số thì điều kiện sẽ là luôn khác 0, giáo viên đưa ra các ví dụ cụ thể để học sinh hiểu và ghi nhớ.

Phân tích sai lầm: Trong bài giải trên học sinh đã mắc sai lầm khi không có điều kiện của .Học sinh nhận thấy rằng hai vế là căn thức nên không âm. Từ đó bình phương hai vế để giải phương trình. Do đó học sinh đã kết luận nghiệm sai, vì x =1 là một nghiệm không thỏa mãn phương trình đã cho.

Cách khắc phục: Giáo viên nhắc lại các phép biến đổi tương đương không được làm thay đổi điều kiện của phương trình

Phân tích sai lầm: Trong bài giải trên học sinh đã mắc sai lầm khi không có điều kiện của t trong bước đặt ẩn phụ. Do đó khi giải phương trình theo ẩn t thì nghiệm t = −1 vẫn nhận. Từ đó bình phương hai vế để giải phương trình. Do đó học sinh đã kết luận nghiệm sai, vì không là nghiệm của phương trình đã cho.

Cách khắc phục: Giáo viên nhắc lại các phép biến đổi tương đương không được làm thay đổi điều kiện của phương trình

Phân tích sai lầm: Trong bài giải trên học sinh đã mắc sai lầm khi không không xét điều kiện của biểu thức dưới dấu căn, do đó chuyển thành và giải phương trình. Trong khi x = −7 là nghiệm của phương trình đã cho.

Cách khắc phục: Giáo viên nhắc lại điều kiện của căn thức để học sinh ghi nhớ.

Phân tích sai lầm: Trong bài giải trên học sinh đã mắc sai lầm khi không xét điều kiện của phương trình (*) là x ≥1. Do đó học sinh đã kết luận nghiệm sai, vì x= 2/11 không là nghiệm của phương trình đã cho. Ngoài ra ở phương trình (**) học sinh bình phương hai vế khi chưa xét điều kiện hai vế không âm. Vì vế phải của (*) là căn thức đã đủ điều kiện không âm nhưng vế trái của (*) là hiệu của hai căn thức, ta chưa biết được liệu có âm hay không, do đó không thể thực hiện phép bình phương hai vế. Do đó nghiệm x = 2 khi thay vào vế trái thì được giá trị âm là -2.

Cách khắc phục: Giáo viên nhắc lại các phép biến đổi tương đương khi muốn bình phương hai vế của phương trình cần chú ý điều kiện hai vế của phương trình phải không âm.

Phân tích sai lầm: Trong bài giải trên học sinh đã mắc sai lầm khi không có điều kiện của 2x-1. Vì vế trái của phương trình là trị tuyệt đối mang giá trị không âm nên vế phải sẽ có điều kiện không âm. Do đó học sinh đã kết luận nghiệm sai, vì x=−1,x=0 là các nghiệm không thỏa mãn phương trình đã cho.
Cách khắc phục: Giáo viên nhắc lại điều kiện của phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là vế còn lại mang giá trị không âm.

Phân tích sai lầm: Học sinh chọn đáp án A vì khi nhìn vào phương trình không thấy xuất hiện căn thức, mẫu thức. Do đó nghĩ rằng không cần xét điều kiện xác định, cứ rút gọn hai vế cho 2 3 x − là được phương trình tương đương mà quên đi rằng muốn chia hai vế cho cùng một biểu thức thì biểu thức đó phải khác 0 và không làm thay đổi điều kiện của phương trình.

Học sinh chọn đáp án B vì khi nhìn vào phương trình quên đi có xuất hiện mẫu thức, và mẫu thức thì cần điều kiện xác định là mẫu thức khác 0. Học sinh chọn đáp án C vì khi nhìn vào phương trình không thấy xuất hiện căn thức, mẫu thức. Do đó nghĩ rằng không cần xét điều kiện xác định, cứ bình phương hai vế là được phương trình tương đương mà quên đi rằng muốn bình phương hai vế thì hai vế cần điều kiện không âm.

Cách khắc phục: Giáo viên khi dạy phần kiến thức về phương trình tương đương, phép biến đổi tương đương cần nhấn mạnh , nhắc đi nhắc lại về việc nhân hoặc chia hai vế của phương trình chỉ khi số khác 0, biểu thức luôn khác 0. c/ Sai lầm trong cách tính toán:

Các sai lầm thường gặp của học sinh ở đây là học sinh tính các phép tính sai, ví dụ như chuyển vế quên đổi dấu, sai hằng đẳng thức, quy đồng mẫu sai,…. Từ đó dẫn đến trình bày bài giải chưa chính xác, kết luận tập nghiệm thiếu, thừa nghiệm,…

Phân tích sai lầm: Trong bài giải trên học sinh đã mắc sai lầm khi chuyển vế 2x mà quên đổi dấu. Do đó bài làm này không đạt điểm trọn vẹn.

Cách khắc phục: Giáo viên nhắc lại các phép biến đổi cơ bản, chuyển vế các biểu thức cần đổi dấu.

Phân tích các sai lầm: Trong bài giải trên học sinh đã mắc sai lầm khi thực hiện phép tính bình phương x − 2 . Học sinh sai hằng đẳng thức ( )2 a b − . Từ đó
dẫn đến thực hiện giải bài toán sai.
Cách khắc phục: Giáo viên ôn tập lại các công thức về hằng đẳng thức cho học sinh.

Một số bài tập luyện tập

CHƯƠNG III: Kết luận

1. Kết quả đạt được
Sau khi nghiên cứu các sai lầm của học sinh trong việc giải các phương trình thường gặp và tìm cách khắc phục, kết quả bài kiểm tra hệ số 1 và hệ số 2 của chương Phương trình và Hệ phương trình của khối 10 năm học 2020-2021 đã đạt kết quả cao hơn so với năm học 2019-2020 như sau:

2. Ý nghĩa
Đề tài có ý nghĩa trong quá trình dạy và học của giáo viên, học sinh trong chương Phương trình và Hệ phương trình. Học sinh sẽ hiểu rõ bản chất của phương trình, các yếu tố của phương trình. Giáo viên hiểu hơn về chương trình, về cách học, hiểu của học sinh, góp phần hỗ trợ học sinh hoàn thiện hơn, đạt kết quả tốt hơn.

3. Khả năng áp dụng
Đề tài nghiên cứu về các sai lầm của học sinh trong các phương trình thường gặp ở chương trình toán lớp 10 cơ bản. Ngoài ra các bài toán ở dạng nâng cao hơn cũng có thể vận dụng, do đề tài phân tích bản chất của phương trình, các phép toán khi biến đổi để được phương trình tương đương. Do đó khi học sinh đã nắm rõ kiến thức thì khi gặp các bài toán phức tạp hơn vẫn không mắc sai lầm

4. Kiến nghị, đề xuất
Đề tài do bản thân tự thực hiện chắc hẳn còn nhiều thiết sót, mong nhận được sự góp ý từ các quý đồng nghiệp để cùng hỗ trợ nhau trong quá trình giảng dạy kiến thức đến các em học sinh.